Notas breves acerca de la teoría cinética de los gases

Notas breves acerca de la Teoría Cinética de los Gases

Dos conceptos esenciales para llegar a comprender la llamada Teoría Cinética de los Gases y su desarrollo, lo son calor y la energía. Alrededor del año 1600, Galileo Galilei sugirió una explicación para el fenómeno del calor cuando escribió: “...la existencia de partículas que al estar en constante movimiento podrían ser la causa de la generación del calor”. Años mas tarde, Isaac Newton, en su obra Óptica de 1704 incluyó la siguiente hipótesis:
“...y por esto, para que la naturaleza pueda ser perdurable, los cambios de las cosas corporales tienen lugar solamente cuando se dan distintas separaciones, asociaciones y movimientos de estas partículas permanentes. Los cuerpos compuestos al romperse lo hacen por las partes en que estas partículas se encuentran en contacto.”
Por su parte el concepto energía iniciaba su desarrollo. Durante el mismo siglo, surgió el concepto de cantidad de movimiento o “momentum” (mv) inventado inicialmente por René Descartes (francés) a principios del siglo XVI y perfeccionado por Christian Huygens (holandés), Robert Hooke (inglés) y Christopher Wren (inglés). Este concepto, como representativo del movimiento, no satisfizo las expectativas del mismo Huygens, ni tampoco las del filósofo, físico y matemático, Gottfried Wilhem Leibniz (alemán) por la dependencia del concepto en la orientación espacial. Ambos buscaron un principio que representase el movimiento y que no dependiera de la dirección del mismo. Analizando un ejemplo presentado por Galileo en su obras Acerca de Dos Nuevas Ciencias, que discute acerca de una piedra que cae desde determinada altura y golpea una estaca que en consecuencia se entierra, Leibniz fue capaz de descubrir el producto-cantidad masa x (rapidez)2 o en símbolos mv2, que por su parte Huygens, demostró se conserva en choques en donde no hay deformaciones de cuerpos.
Durante la primera mitad del siglo siguiente, ciertos experimentos mostraban la conservación del calor. El intento de explicación de esta conservación, llevó a los investigadores a favorecer, la concepción del calor como fluido. De esta manera a final del siglo 18, Joseph Black y sus colegas contribuyeron al surgimiento de la teoría del calor como fluído llamado calórico por Lavoisier.
Específicamente en 1738, Daniel Bernoulli pensó que los corpúsculos del gas, o sea los supuestos átomos, eran tan pequeños que su número era infinito aún cuando el gas estuviese confinado a un recipiente pequeño. Sostuvo además, que en su rápido movimiento, chocan con las paredes y unos contra otros elásticamente, conservando su cantidad de movimiento, lo cual les permite moverse indefinidamente. El modelo planteado por Bernoulli, cónsono con la idea de Galileo, lleva el nombre de cinético y no se relacionó ni con la energía ni con el calor, conceptos aún oscuros. Hoy en día no se dispone de una explicación convincente acerca de la razón para el abandono de que fue objeto la teoría de Bernoulli.
Para el año 1808, John Dalton publicó su teoría atómica en la cual postuló una concepción atómica opuesta a la idea de la cinética: el modelo estático. Este fue respaldado por la mayoría de los investigadores científicos de la época. En su trabajo, Dalton adoptó la concepción del calor tal y como se desarrolló en el siglo anterior según se ha indicado anteriormente: como un fluido. Quizás, pareció tener esta teoría un potencial de contrastación mayor que otras y, en particular, que el modelo de Bernoulli. La siguiente oración extraída del trabajo de Dalton resulta ilustrativa de su modelo:
“Un recipiente lleno de cualquier gas puro, presenta a nuestra imaginación un retrato similar a la de un recipiente lleno de un montón de pequeñas balas (de cañón) de igual tamaño.”
Ya a finales del siglo XVIII, surgieron investigadores cuyos experimentos contradecían la teoría que concebía al calor como fluido. Dos de los pioneros en este menester lo fueron el físico inglés Benjamin Thomson (más tarde nombrado Conde Rumford), nacido en aquel entonces en una de las colonias inglesas del continente americano, y Humphrey Davy (inglés), quienes al menos lograron sembrar la incertidumbre en la idea de que el calor reside internamente en los cuerpos. El primero encontró evidencia a favor de la imposibilidad de que el calor fuese un cuerpo material; sus experimentos lo llevaron a pensar que el calor no tiene efecto en el peso de los cuerpos. Evidenció que el calor se puede generar por fricción. Todo esto, dentro de un lapso de algunos años, llevó a producir evidencia en contra de la hipótesis de la atmósfera de calórico que Dalton había concebido para el entorno de la partícula elemental indivisible entre 1820 y 1850 .
Por otro lado, a finales del siglo XVIII, y comienzos del próximo comenzó la parte final de la elaboración del concepto energía. Iniciando el siglo XIX, Thomas Young (inglés), llamó energía a esta cantidad que se conserva. (El vocablo surge del griego “energous” que significa activo, la cual se nombraba como “vis viva” por Leibniz). En ese momento, aún no se concebía claramente la relación entre energía y calor.
Ya en el siglo XIX se comienza a comprender con mayor profundidad el concepto de la energía y su conservación, ayudado por la demanda de diseño y construcción de máquinas de vapor en los albores de la revolución industrial y por aportaciones como los realizadas por Julius Mayer (alemán) y James Prescott Joule (inglés). Alrededor de 1847, los trabajos experimentales del físico inglés Joule pusieron de manifiesto una serie de fenómenos físicos que podían explicarse suponiendo que la energía y el calor eran manifestaciones de una misma cosa y agregando la hipótesis del constante movilidad de los átomos que forman la materia lo que terminaría por acabar definitivamente con la concepción estática daltoniana a favor de la previa de Bernoulli. Joule había seguido la línea de hipótesis que desde 1820 y 1845 John Herapath y John Waterston, trabajando independientemente, habían presentado en algunos de sus trabajos publicados. Ellos habían adoptado la línea de argumentación de la teoría de Bernoulli. Así por ejemplo, en uno de estos trabajos, publicado en 1836, Herapath logró un cómputo en donde enunciaba la magnitud de la velocidad promedio de las moléculas de aire, la cual resultó cerca de 740 mi/hr. Alrededor de 1860, la teoría comenzó a ganar aceptación de parte de la mayoría de los investigadores.
En 1875, la teoría se fundamentó empíricamente al correlacionarse con aspectos cuantitativos de los datos experimentales, gracias a la colaboración que desde el año 1850, habían provisto principalmente Rudolph Clausius (alemán), James Clerk Maxwell (inglés), William Kelvin (inglés) y Ludwing Boltzman (austríaco). Para despertar aún más el interés en este avance, J.D. van der Waals (holandés), demostró que la Teoría Cinética de los Gases podía explicar satisfactoriamente la dinámica involucrada en el cambio de estado de líquido a gas y viceversa.
Entre otros, uno de los logros importantes de esta teoría fue que finalmente clarificó la relación antes imprecisa entre conceptos como temperatura, calor y energía proveyendo una interpretación adecuada de los mismos. El calor, por ejemplo, se define como: “energía en tránsito en virtud de una diferencia en temperatura”. La energía en cierta instancia como: “la entidad que provee la capacidad para realizar trabajo físico y en general como el agente responsable de todas las interacciones y transformaciones en el universo”. De esta manera, a principios del siglo XX, la Teoría Cinética de los Gases era capaz de relacionar los conceptos de energía y calor de una manera coherente. Además, se comenzó a contar con un enfoque estadístico que en conjunción a la Teoría Cinética de los Gases pudo aplicarse a los tres estados de la materia. Esto último fue ideado por Willard Gibbs (norteamericano). Así la teoría tiene alcances adicionales mas allá de la fase gaseosa; por lo que desde aquí en adelante se le llamó Teoría Cinética, sin más.
En un nuevo salto intelectual, la teoría luego se pudo aplicar para explicar algo de las propiedades eléctricas, magnéticas, térmicas y mecánicas de la materia. Esto se logra cuando se combinan los resultados de la Teoría Cinética con los de la Teoría Cuántica de la Energía. En lo que respecta a la estructura de esta teoría, ¿cuáles son los postulados básicos de la misma? Son los siguientes:
1. Los gases consisten de moléculas, cada una de ellas enormemente separadas en comparación con su tamaño.
2. El volumen de cada una de las moléculas es descartable en comparación con el volumen total de la muestra del gas en cuestión.
3. Las moléculas de los gases están en constante movimiento; éste es rápido, rectilíneo y propicia que las moléculas choquen, lo mismo unas con otras que contra las paredes del recipiente que las contenga.
4. Los choques que sufren las moléculas son perfectamente elásticos, lo que permite que la energía cinética sea transferida entre ellas o a las paredes del recipiente, pero jamás perdida ni disminuida.
5. La fuerza de atracción entre las moléculas es descartable.

Es necesario señalar que las hipótesis anteriores se refieren a los gases cuyas moléculas cumplen con esos requisitos, es decir los gases que son llamados ideales. Como es de suponer, algunos gases de nuestro mundo físico no necesariamente se calificarían como ideales.
Desde finales del siglo XIX se comprendió que para el caso de un gas a temperatura baja (digamos 150 ºC bajo cero) y densidad alta, las condiciones 1,2 & 5 no se cumplirán de modo que se califica como real. Por ejemplo, el aire a presión atmosférica puede considerarse como ideal, ya que su densidad relativa es baja y su temperatura alta, digamos 25 ºC. Cuando un gas no reúne las condiciones para que se le considere como ideal, serán necesarios algunos ajustes en los cálculos que se puedan llevar a cabo en las distintas experimentaciones que se requieran para validar la teoría. En este sentido, la labor de van der Waals fue muy valiosa porque desarrolló relaciones matemáticas que hoy en día pueden tratarse con programación en computadoras para el tratamiento experimental en los gases, cuyas condiciones lleven a considerarlos reales.
Si se añade energía en forma de calor en un recipiente que contenga digamos un gas atrapado, esta energía será absorbida por las partículas que conforman la materia en el interior del recipiente mediante un mecanismo determinado (que resulta muy complejo para explicarlo aquí y del cual desde el siglo pasado se ha teorizado). Una vez absorbida la energía, puede manifestarse en movimiento de traslación de las partículas mismas. Si se manifiesta completa o parcialmente en traslación tarde o temprano chocarán unas con otras las partículas o con las paredes del envase lo que intuitivamente puede llevar a comprender que en el gas atrapado se traducirá en presión contra las paredes del envase. Si se añade más calor, las partículas recibirán más energía y la que se manifieste como traslación contribuirá a aumentar la velocidad de sus partículas y la frecuencia y fuerza con la cual chocan entre ellas mismas y con las paredes del recipiente manifestándose en un aumento en presión.
Merece mencionarse que, de acuerdo con Clausius, cuando dos cuerpos chocan, necesariamente se deben producir choques no centrales, o sea, en puntos intermedios entre el centro y el borde de los cuerpos que como predice las leyes de la mecánica, deben producir movimientos de rotación, más o menos rápido. No es absurdo, entonces que también se produzcan movimientos de vibración entre esos mismos cuerpos cuando se trate de partículas compuestas (moléculas). La deducción lógica matemática llevó a los físicos a las siguientes proposiciones:
1. La temperatura debe visualizarse como una medida de la magnitud del movimiento promedio o energía cinética (llamada cinética por William Kelvin) de las moléculas del gas y no como la cantidad de calor que poseen los cuerpos (antigua definición de temperatura).
2. La presión de un gas aumenta cuando se le aumenta la temperatura si el volumen se mantiene constante; y viceversa (Ley de Amontons).
3. Si la temperatura se mantiene constante, una disminución en el volumen debe provocar un aumento en la presión porque habría menos espacio disponible para soportar la misma cantidad de choques por el mismo número de partículas a la misma velocidad. Por el contrario si, a la misma temperatura, se aumentara el volumen, habría más espacio para el mismo número de choques a la misma velocidad y por lo tanto la presión tendría que disminuir ( Ley de Boyle ).
4. Si se exigiese que la presión se mantuviese constante, entonces un aumento en la temperatura conllevaría un aumento en el volumen. De esta manera se le brindaría mayor espacio al gas lo que compensaría los factores de aumento de velocidad, fuerza y frecuencia de los choques de las partículas por la agitación que le provocaría el aumento en la temperatura y, como consecuencia, cabría esperar una presión constante. Lo inverso también sería cierto. Es decir a mayor temperatura, mayor volumen, a menor temperatura menor volumen; si la presión es constante ( Ley de Charles).
5. Si imaginamos las partículas como puntos sólidos sin dimensiones, todos las absorciones de energía o choques producirán movimientos de traslación como ocurre con las bolas de billar al chocar. Si se trata de partículas con estructuras digamos complejas (moléculas en general), los choques pueden producir movimientos de rotación, vibración, además de las traslaciones. También, cabe la posibilidad de que la energía se absorba de alguna manera distinta en la molécula no manifestándose como movimiento. Como la temperatura es una medida de la energía o rapidez de traslación media de las partículas, puede darse el caso de que las sustancias con estructuras moleculares más complejas no muestren un aumento en temperatura en proporción directa a por ejemplo, la absorción de calor. Así, de esta manera se explican las diferencias en capacidad calórica, y por ende en el calor específico, entre las sustancias.
Por último podemos aplicar esta teoría para explicar sinnúmero de observaciones como por ejemplo:
• Los reventones de los neumáticos de los vehículos de motor excesivamente llenos en un día extremadamente soleado.
• Los rebotes mayores de una bola de baloncesto después de haber estado expuesta a la luz del sol.
• La contracción de un globo lleno de aire cuando se coloca en el refrigerador.
¿Cuáles son algunos fundamentos matemáticos de la Teoría Cinética?
Hasta este punto hemos presentado aspectos cualitativos de los logros explicativos de la Teoría Cinética. Como ejemplo de su fortaleza cuantitativa, a continuación se analiza el cálculo teórico de la presión de un gas.
Considere una caja cúbica de dimensiones L en sus respectivos lados. Para simplificar el caso, considere también una molécula de masa m que se mueve paralelamente al eje de X . Para conveniencia , los ejes del sistema tridimensional se seleccionan de tal manera que queden alineados a los lados de la caja, tal y como se ilustra y, además, sólo se considerará el choque de la partícula contra las paredes de la caja. La molécula tiene una velocidad v x y rebotará contra la pared A con una velocidad – v x. Como se asume que los choques son elásticos, la pared es inmovible y no hay pérdida de energía en el rebote. El cambio en la velocidad de la molécula es – 2 v x , y su cambio en momentum es –2 m v x . Si la molécula no choca con ninguna otra y sí choca con la pared B y regresa a la pared A, el tiempo entre un choque y el otro es Δ t = 2L / v x . Sea Δ p el cambio en momentum y por lo tanto el promedio de éste por unidad de tiempo es Δ p / Δ t. Así se obtiene:






lo cual se puede interpretar como el promedio de la fuerza sobre la pared. Los términos de la izquierda se pueden considerar como el promedio de la fuerza que hace una sola molécula sobre la pared. Si se consideran todas las moléculas, N, entonces:




En la ecuación anterior, la barra indica el promedio de las propiedades medidas. Al dividir la fuerza entre el área de la pared, obtenemos presión ( fuerza por unidad de área ):

P = = = =

Al multiplicar por V (volumen) en ambos extremos, queda:

P V = N m vx 2 (Ec. * ) ,

en donde P es la presión sobre la pared y V es el volumen de la caja.
El cuadrado de la velocidad total de una molécula sola es la suma de los tres cuadrados de la velocidad en los tres componentes dimensionales:

v 2 = vx 2 + vy 2 + vz 2

Cuando el número de moléculas es grande y se asume que no hay preferencia por ninguna dirección en específico, el valor de la velocidad es su promedio- cuadrado



Los promedios de los tres diferentes componentes son iguales porque dadas las condiciones impuestas, las tres distancias son equivalentes e independientes. Por lo tanto queda:




de donde:



Queda claro, entonces, que en la ecuación marcada con el *,
se puede sustituir v 2 por 3 vx 2 y quedaría :




Como es conocido de otros cursos, probablemente, la energía cinética traslacional promedio ( EC ) = ½ m v 2 para una molécula. Así que, finalmente, para todas las moléculas queda:




Muchos son los logros de la Teoría Cinética. Además de los mencionados, merecen mencionarse, el hecho de que permite desarrollar métodos para determinar el tamaño de las moléculas, ofrece un significado físico a la temperatura del cero absoluto, explica cómo los gases de la atmósfera están tan perfectamente mezclados y predice, aunque no es para preocuparse, que nuestro planeta está sufriendo una lentísima, pero inevitable pérdida de su atmósfera.
Otro producto de la Teoría Cinética fue derivar que la velocidad de difusión de los gases es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de sus respectivas masas. Dicho de otro modo, suponga que se confinan dos gases dentro de un mismo recipiente. El recipiente tiene paredes porosas que conectan con un vacío. Entonces, el gas más liviano escapará más rápido que el otro. ¿Cuánto más rápido? Por un factor que es la raíz cuadrada del inverso de las respectivas masas. Matemáticamente: Si el 1 representa al gas más liviano y el 2 al gas más pesado, el factor ( α ) mencionado sería α = . Este hallazgo sirvió para un proceso de separación de isótopos ( diferentes masa atómica para un mismo elemento). Por ejemplo, el uranio con masa 235 y el de masa 238. Pero para separar estos dos isótopos, al no ser gases, se usaron dos compuestos gaseosos que sí los contenían . Uno de ellos con masa igual a 349 unidades y otro de masa igual a 352 unidades. El factor de separación es pequeño, apenas 1.0043, o lo que es lo mismo, sólo se separa el 0.43% de la mezcla original. Pero repitiendo este proceso muchas veces (4000 etapas! ) y por cierto en un enorme edificio en el estado de Tennessee, se logró separar el U-235 del U-238 con un alto % de rendimiento. El uranio “enriquecido” fue la materia prima de la primera bomba atómica... una evidencia más de lo contundente de la veracidad de la Teoría Cinética que, como el Ave Fénix, renació de sus cenizas.