ENLAZAMIENTO DE LOS ELECTRONES POR EL NUCLEO

ENLAZAMIENTO DE LOS ELECTRONES POR EL NÚCLEO POSITIVO

Consideraciones Generales


Lo inadecuado de la electrodinámica clásica para dar cuenta de las propiedades de los átomos partiendo de un átomo-modelo como el de Rutherford, se verá claramente si consideramos un sistema simple que consista de un núcleo cargado positivamente de dimensiones pequeñas y un electrón describiendo órbitas cerradas alrededor de éste. Por simplicidad, permítasenos asumir que la masa del electrón es descartable comparada con la del núcleo, y además, que la rapidez con la que se mueve el electrón es pequeña comparada con la rapidez de la luz.
Asumamos primero que no hay energía de radiación. En este caso el electrón describirá órbitas elípticas estacionarias. La frecuencia de revolución ω y el eje-mayor de la órbita 2a dependerán de la cantidad de energía W que debería ser transferida al sistema si quisiéramos remover el electrón y apartarlo a una distancia infinitamente grande desde el núcleo. Denotando la carga del electrón y del núcleo por -e y E respectivamente y la masa del electrón por m, hallamos que


Además, puede demostrarse fácilmente que el valor promedio de la energía cinética del electrón tomado para una revolución completa es igual a W. Vemos entonces que, si el valor de W no se conoce, tampoco podremos saber los valores de ω y de a característicos del sistema en cuestión.

Déjennos ahora, sin embargo, tomar en cuenta el efecto de la radiación de energía, calculado en la forma usual u ordinaria a partir de la aceleración del electrón. En este caso el electrón ya no describirá órbitas estacionarias. “W” incrementaría continuamente, y el electrón se acercaría al núcleo describiendo órbitas cuyas dimensiones serían cada vez más pequeñas, y con frecuencias de revolución “ω” cada vez mayores; el electrón iría ganando energía cinética a la vez que el sistema como un todo la iría perdiendo. Este proceso continuaría hasta que las dimensión de la órbita fuese del mismo orden de magnitud que la dimensión del electrón mismo o la del núcleo. Un cálculo sencillo muestra que la energía radiada hacia afuera durante el proceso considerado sería enormemente grande comparada con la energía radiada hacia afuera por los procesos moleculares ordinarios.
Es obvio que el comportamiento de semejante sistema sería muy diferente de aquellos de los sistemas atómicos que se dan en la naturaleza. En primer lugar, los átomos existentes, en su estado permanente, parecen poseer dimensiones y frecuencia fijas. Además, si consideramos cualquier proceso molecular, el resultado siempre parece ser que, luego de radiar cierta cantidad de energía característica del sistema en cuestión, éste alcanza nuevamente un estado de equilibrio estable, en el cual las distancias que separan las partículas son del mismo orden de magnitud que lo que eran antes del proceso.
Ahora, el punto esencial de la teoría de Planck de la radiación es que la radiación de energía que se emite desde un sistema atómico, no ocurre en forma continua como hasta ahora se ha asumido en la electrodinámica ordinaria, sino que, por el contrario, ocurre en emisiones distintamente separadas; siendo la cantidad de energía radiada hacia afuera desde un sistema atómico que vibre con frecuencia v, en una sola de estas emisiones, igual a nhv, donde n es un número entero, y h es una constante universal.

Regresando al caso sencillo de un solo electrón y del núcleo positivo considerado arriba, déjennos asumir que el electrón, al comienzo de su interacción con el núcleo, se encuentra separado del núcleo por una distancia grande, y que además no posee una velocidad apreciable respecto de éste. Asumamos además que el electrón, luego de que la interacción ha tenido lugar, se ha acomodado en una órbita estacionaria alrededor del núcleo. Asumiremos, por razones que se darán luego, que la órbita en cuestión es circular; esta suposición, sin embargo, no provocará alteración alguna en los cálculos que deben hacerse para el sistema conteniendo sólo un electrón.
Asumamos ahora que, durante el proceso de enlazamiento del electrón al núcleo, se emite radiación homogénea de frecuencia v, igual a la mitad de la frecuencia de revolución del electrón en su órbita final; por lo tanto, de la teoría de Planck, esperaríamos que la cantidad de energía emitida en el proceso considerado sea igual a nhv, donde h es la constante de Planck y n es un número entero. Si asumimos que la radiación emitida es homogénea, la segunda suposición se sugiere sola, ya que la frecuencia de revolución del electrón al inicio de la emisión es cero (0) . . . . La cuestión, sin embargo, sobre la validez rigurosa de ambas suposiciones, y también de la aplicación hecha de la teoría de Planck, se discutirá más detenidamente luego [en la sección titulada “Consideraciones Generales, Continuación.”]
Poniendo



obtnemos, con la ayuda de la Ec. (1), que

Si en estas expresiones le damos varios valores a n, obtendremos varios valores para W, ω y a que corresponden a una serie de configuraciones posibles del sistema. En acuerdo con las consideraciones mencionadas arriba, nos inclinamos a hacer la suposición de que estas configuraciones corresponderán a los estados del sistema en los cuales no ocurirá radiación de energía; estados que, consecuentemente, serán estacionarios mientras el sistema no sea perturbado desde fuera. Vemos que el valor de W es mayor cuando n toma su valor mínimo de igual a 1. Este caso, por lo tanto, corresponderá al estado más estable del sistema, i.e. corresponderá al enlazamiento o ligadura del electrón para el cual se requerirá una mayor cantidad de energía para romperlo.
Poniendo en las expresiones anteriores n = 1 y E = e, e introduciendo los valores experimentales

e = 4.7 x10-10 , e/m = 5.31 x1017 , h = 6.5 x10-27 ,

obtenemos

2a = 1.1 x10-8 cm., ω = 6.2 x1015 1/seg, W/e = 13 volt.


Vemos que estos valores son del mismo orden de magnitud que las dimensiones lineales del átomo, las frecuencias ópticas, y los potenciales de ionización conocidos.
La importancia general de la teoría de Planck respecto de la discusión de los sistemas atómicos fue originalmente señalada y recalcada por Einstein. Las consideraciones de Einstein se han desarrollado y aplicado a cierto número de fenómenos, especialmente por Stark, Nernst, y Sommerfeld. El acuerdo entre el orden de magnitud de los valores observados para las frecuencias y las dimensiones del átomo, y los valores calculados para estas cantidades basándonos en consideraciones similares a las mencionadas arriba, ha sido tema de mucha discusión. Fue señalado primero por Haas, en un intento de explicar el significado de la constante de Planck sobre la base del átomo-modelo de Thomson, con la ayuda de las dimensiones y frecuencia del átomo de hidrógeno.

Los sistemas del tipo que se considera en este artículo, en los cuales las fuerzas entre las partículas varían según el inverso del cuadrado de la distancia, se discutieron, en relación con la teoría de Planck por J. W. Nicholson. En una serie de artículos este autor mostró que parece ser posible dar cuenta de las líneas, hasta ese momento de origen desconocido, en los espectros de las nebulosas estelares y en la corona solar, asumiendo la presencia en estos cuerpos de ciertos elementos hipotéticos de constitución exactamente indicada. Los átomos de estos elementos se suponen consistiendo de un anillo de pocos electrones que rodea al núcleo positivo de dimensiones descartablemente pequeñas. La razón entre las frecuencias que corresponden a las líneas en cuestión se compara con la razón entre las frecuencias que corresponden a distintos modos de vibración del anillo de electrones. Nicholson ha logrado obtener una relación con la teoría de Planck mostrando que la razón entre los largos de onda de varios conjuntos de líneas del espectro de la corona solar pueden ser explicados con gran exactitud asumiendo que la razón entre la energía del sistema y la frecuencia de rotación del anillo es igual a un múltiplo entero de la constante de Planck. La cantidad a la que Nicholson se refiere como la energía es igual al doble de la cantidad que hemos denotado W. En el último artículo citado Nicholson encontró necesario darle una forma más complicada a la teoría, pero aún, sin embargo, representando la razón de la energía a la frecuencia por una función simple de números enteros.

El excelente acuerdo entre los valores observados y los calculados de las razones entre las longitudes de onda en cuestión, parece ser un argumento fuerte en favor de la validez de la fundamentación sobre la que se basan los cálculos de Nicholson. Sin embargo, es posible levantarle serias objeciones a la teoría. Estas objeciones están íntimamente conectadas con el problema sobre la homogeneidad de la radiación emitida. En los cálculos de Nicholson la frecuencia de las líneas en el espectro de línea se identifica con la frecuencia de vibración de un sistema mecánico en un estado de equilibrio indicado distintamente. Si utilizamos la teoría de Planck, uno esperaría que la radiación se emita en “paquetes” o ‘quantas’; pero, sistemas como el que estamos considerando, en los cuales la frecuencia es una función de la energía, no pueden emitir una cantidad finita de radiación homogénea; puesto que, tan pronto como la emisión de radiación comienza, la energía, y también la frecuencia del sistema, se alteran. Además, en acuerdo con los cálculos de Nicholson, los sistemas son inestables bajo algunos modos de vibración. Aparte de tales objeciones -las cuales podrían ser sólo de tipo formal- debe ser recalcado, que la teoría, en la forma en que se ha dado, no puede dar cuenta de las bien conocidas leyes de Balmer y de Rydberg relacionadas con las frecuencias de las líneas en los espectros de línea de los elementos ordinarios.
Se intentará mostrar ahora que las dificultades en cuestión desaparecen si consideramos el problema desde el punto de vista tomado en este artículo. Antes de proceder, podría sernos útil reexpresar brevemente las ideas que caracterizan nuestros cálculos [que siguen las fórmulas (2) y (3)]. Las suposiciones principales utilizadas son:
(1) Que el equilibrio dinámico de los sistemas en los estados estacionarios puede discutirse con la ayuda de la mecánica ordinaria, mientras que el paso de los sistemas entre diferentes estados estacionarios no puede ser tratado sobre esa base.
(2) Que el proceso anterior es seguido por la emisión de radiación homogénea, para la que la relación entre la frecuencia y la cantidad de energía emitida es la que da la teoría de Planck.

La primera suposición parece presentarse por sí misma; puesto que se sabe que la mecánica ordinaria no puede poseer una validez absoluta, sino que sólo se sostendrá al calcular ciertos valores promedios del movimiento de los electrones. Por otro lado, en los cálculos del equilibrio dinámico en un estado estacionario en el cual no hay desplazamientos relativos de las partículas, no necesitamos distinguir entre los movimientos reales y sus valores promedios. La segunda suposición está en contradicción obvia con las ideas ordinarias de la electrodinámica, pero parece ser necesaria para poder explicar los datos experimentales.
En los cálculos [que acabamos de referir] hemos hecho uso de algunas suposiciones especiales adicionales, i.e. que los diferentes estados estacionarios corresponden a la emisión de un número diferente de los “paquetes de energía” de Planck, y que la frecuencia de la radiación emitida durante el paso de un sistema de un estado en el cual no se ha radiado energía todavía a uno de los estados estacionarios, es igual a la mitad de la frecuencia de revolución del electrón en este último estado. Podemos, sin embargo, del mismo modo llegar a las expresiones en la Ec.(3) para los estados estacionarios, utilizando suposiciones de tipo un tanto distinto. Por lo tanto, pospondremos la discusión de las suposiciones especiales, y mostraremos primero cómo, por medio de las suposiciones principales, y las expresiones en Ec.(3) para los estados estacionarios, podemos dar cuenta del espectro de línea del hidrógeno.

Emisión de los Espectros de Línea

ESPECTRO DEL HIDRÓGENO: La evidencia general indica que un átomo de hidrógeno consiste, simplemente, de un sólo electrón rotando alrededor de un núcleo positivo de carga e. La re-formación del átomo de hidrógeno, cuando su electrón ha sido removido a una gran distancia del núcleo -e.g. por el efecto de un descarga eléctrica en un tubo al vacío- corresponderá, por tanto al enlazamiento o ligadura del electrón por un núcleo positivo ya considerado (antes). Si en Ec.(3) ponemos que E = e, obtenemos, para la energía total radiada por la formación de uno de los estados estacionarios,


La cantidad de energía emitida al pasar el sistema del estado correspondiente a n = n1 a uno que corresponda a n = n2, es, consecuentemente

Si suponemos ahora que la radiación es homogénea, y que la cantidad de energía emitida es igual a hv, donde v es la frecuencia de la radiación, tendremos

y de aquí

Vemos que esta expresión da cuenta de la ley que relaciona las líneas en el espectro de línea de hidrógeno. Si ponemos n2 = 2 y dejamos que n1 varíe, obtendremos las series de Balmer ordinarias. Si ponemos n3, obtenemos las series en el ultra rojo observadas por Paschen y sospechadas previamente por Ritz. Si ponemos n2 = 1 y n2 = 4, 5, . . ., tendremos las series respectivamente en el extremo ultra violeta y el extremo ultra rojo, las cuales no han sido observadas, pero cuya existencia podemos esperar.

El acuerdo en cuestión es cuantitativo asi como cualitativo. Poniendo
e = 4.7 x10-10, e/m = 5.31 x1017, y h = 6.5 x10-27,

obtenemos que


El valor observado para el factor fuera de los paréntesis en la Ec.(4) es 3.290 x1015.
El acuerdo entre los valores teóricos y observados está dentro de la incertidumbre debida a los errores experimentales en las constantes que entran en la expresión que se utiliza para calcular el valor teórico. Regresaremos luego a considerar la posible importancia de esta concordancia.
Debe recalcarse que el hecho, de que no ha podido observarse más de 12 líneas de las series de Balmer en experimentos con tubos al vacío, mientras se han observado 33 líneas en los espectros de algunos cuerpos celestes, es justamente lo que debe esperarse de la teoría expuesta arriba. En acuerdo con la Ec.(3) el diámetro de la órbita del electrón en diferentes estados estacionarios es proporcional a n2. Para n = 12 el diámetro es igual a 1.6 x10-6 cm., o igual a la distancia media entre las moléculas en un gas que se encuentre bajo una presión cercana a 7 mm. de mercurio; para el caso de n = 33 el diámetro es igual a 1.2 x10-5 cm., correspondiendo a la distancia media de las moléculas a una presión cercana a 0.02 mm. de mercurio. En acuerdo con la teoría, la condición necesaria para la aparición de un gran número de líneas es, por lo tanto, una densidad bien pequeña del gas; para obtener simultáneamente una intensidad suficiente para permitir la observación el espacio que contenga al gas debe ser muy grande. Si la teoría está correcta, podemos esperar que nunca pueda ser posible, en experimentos con tubos al vacío, observar las líneas correspondientes a valores altos de las series de Balmer del espectro de emisión de hidrógeno; podría, sin embargo, ser posible observar las líneas por medio de la investigación del espectro de absorción de este gas. ... ... ... ..........................
Debe notarse que, en la forma indicada arriba, no obtenemos otras series de líneas que generalmente se le adscriben al hidrógeno; por ejemplo, las series observadas primero por Pickering en el espectro de la estrella ξ-Puppis, y el conjunto de series halladas recientemente por Fowler en experimentos con tubos conteniendo una mezcla de hidrógeno y helio. Veremos que, sin embargo, con la ayuda de la teoría expuesta arriba, podemos dar cuenta de forma natural de estas series de líneas si se las adscribimos al helio.
Un átomo neutral de este último elemento consiste, en acuerdo con la teoría de Rutherford, de un núcleo positivo de carga 2e y dos electrones. Ahora, considerando el enlazamiento de un solo electrón por el núcleo de helio, obtenemos, poniendo E = 2e en la expresión (3), y procediendo exactamente en la misma forma en que lo hicimos arriba,

Si en esta fórmula ponemos n2 = 1 o n2 = 2, obtendremos series de líneas en el extremo ultra violeta. Si ponemos n2 = 3, y dejamos que n1 varíe, tendremos las series que incluyen dos de las series observadas por Fowler, y denotadas por él como la primera y segunda series principales del espectro de hidrógeno. Si ponemos n2 = 4, obtendremos la serie observada por Pickering en el espectro de ξ-Puppis. Cada segunda línea en esta serie es idéntica con una línea en la serie de Balmer del espectro de hidrógeno; la presencia del hidrógeno en la estrella en cuestión puede dar cuenta entonces del hecho de que estas líneas son de intensidad mayor que el resto de las líneas en la serie. La serie ha sido observada también en los experimentos de Fowler, y denotada en su artículo como la “Serie Sharp” del espectro de hidrógeno. Si ponemos, finalmente, en la fórmula de arriba, n2 = 5, 6, . . ., obtendremos series, cuyas líneas mas intensas debemos esperar que se puedan observar en el ultra rojo.
La razón por la cual el espectro considerado no se observa en los tubos de helio ordinarios puede ser que, en semejantes tubos la ionización del helio no es completa como en la estrella considerada o en el experimento de Fowler, en el cual una fuerte descarga se hizo pasar a través de una mezcla de hidrógeno y helio. La condición para la aparición del espectro es, en acuerdo con la teoría expuesta arriba, que los átomo de helio se encuentren en un estado en el cual hayan perdido sus dos electrones. Ahora, debemos asumir que la cantidad de energía que debe usarse para remover el segundo electrón del átomo de helio es mucho mayor que la que haría falta para remover el primero. Además, se sabe por experimentos con los rayos positivos, que los átomos de hidrógeno pueden adquirir una carga negativa; por lo tanto, la presencia de hidrógeno en los experimentos de Fowler pudiera tener el efecto de que más electrones se remuevan de los átomos de helio que los que serían removidos si sólo hubiese estado presente el helio.
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Antes de dejar la discusión de esta cuestión, regresemos por un momento a la cuestión del significado del gran acuerdo logrado entre los valores observado y calculado para la constante que entra en la expresión Ec.(4) para la serie de Balmer del espectro de hidrógeno. De las consideraciones mencionadas arriba se sigue que, tomando como punto de partida la forma de la ley para el espectro de hidrógeno y asumiendo que las diferentes líneas corresponden a radiación homogénea emitida durante el paso entre estados estacionarios diferentes, debemos arribar a una expresión exactamente igual para la constante en cuestión, como la dada en la Ec.(4), si sólo asumimos (1) que la radiación se emite en “paquetes” hv, y (2), que la frecuencia de la radiación emitida durante el paso del sistema entre estados estacionarios sucesivos coincidirá con la frecuencia de revolución del electrón en la región de vibraciones bajas.
Como todas las suposiciones utilizadas en esta última forma de representar la teoría son de un carácter que podríamos llamar cualitativo, estamos justificados al esperar -si la forma total de considerarlo fuera una sensata- un acuerdo absoluto entre el valor calculado y observado para la constante en cuestión, y no sólo un acuerdo aproximado. La fórmula (4) puede entonces ser de gran valor en la discusión de los resultados de las determinaciones experimentales de las constantes e, m y h.

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El carácter preliminar e hipotético de las consideraciones mencionadas arriba no necesita ser enfatizado. La intención ha sido, sin embargo, mostrar que la generalización bosquejada de la teoría de los estados estacionarios puede, posiblemente, proveernos una base simple para representar un número de hechos experimentales que no pueden ser explicados con la ayuda de la electrodinámica ordinaria, y que las suposiciones usadas no parecen ser inconsistentes con los experimentos sobre fenómenos para los cuales ha sido dada una explicación satisfactoria por la dinámica clásica y la teoría ondulatoria de la luz.